Докажите что периметр треугольника меньше удвоенной суммы его медиан

Пусть в стороны треугольника равны a,b,c, а медианы, проведенные к соответствующим сторонам, равны [tex]m_a, m_b, m_c[/tex]. Рассмотрим треугольник с медианой [tex]m_a[/tex], проведенной к стороне a. Медиана разбивает треугольник на два треугольника, для каждого из этих двух треугольников запишем неравенство треугольника, учитывая, что медиана [tex]m_a[/tex] делит сторону a пополам:

[tex]b\ \textless \ \frac{a}{2} +m_a[/tex]
[tex]c\ \textless \ \frac{a}{2} +m_a[/tex]

Сложим данные неравенства и получим:

[tex]b+c\ \textless \ a+2m_a[/tex]

Аналогичные действия можно проделать с двумя другими медианами. В итоге мы получим три неравенства:

[tex]b+c\ \textless \ a+2m_a[/tex]
[tex]a+c\ \textless \ b+2m_b[/tex]
[tex]a+b\ \textless \ c+2m_c[/tex]

Сложим данные неравенства. Получим:

[tex]2(a+b+c)\ \textless \ (a+b+c)+2(m_a+m_b+m_c)[/tex]

Теперь вычтем из обеих частей неравенства (a+b+c). Получим:

[tex]a+b+c\ \textless \ 2(m_a+m_b+m_c)[/tex]

А это есть именно то утверждение, которое требуется доказать.