Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке K и продолжений сторон AB и BC в точках L и M соответственно. Докажите,что отрезок AM равен полупериметру треугольника ABC.

Это случай вневписанной окружности, но с ним нужно уметь грамотно работать. Задача, на самом деле, легкая, если понять, что от вас хотят. Тут нужно знать только 1 вещь: отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. На моей картинке BK=BL, KC=CM, AL=AM. 
Дальше я распишу поподробнее третье равенство. 
AL=AM
AB+BL=AC+CM
AB+BK=AC+KC
Периметр P=AB+BK+KC+AC=(AC+KC)*2=2AM. Что и просили доказать.