Показательное уравнение.
Найти увеличенный в 6 раз корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:
[tex]( \sqrt{5} - \sqrt{2} ) 3^{x} - \frac{ 3^{4-x} }{ \sqrt{5} + \sqrt{2} } - ( \sqrt{6}- \sqrt{2} ) 2^{1-2x} + \frac{ 2^{2x-3} }{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } =0[/tex]

Во-первых, заметим, что (√5-√2)(√5+√2) = 5 - 2 = 3, поэтому
[tex] \frac{1}{ \sqrt{5} + \sqrt{2} } = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} [/tex]
Точно также, (√6-√2)(√6+√2) = 6 - 2 = 4, поэтому [tex] \frac{1}{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} [/tex]
Подставляем[tex](\sqrt{5} - \sqrt{2})*3^x- \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3}* \frac{3^4}{3^x}-(\sqrt{6} - \sqrt{2})* \frac{2}{2^{2x}}+ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}* \frac{2^{2x}}{2^3} =0 [/tex]
[tex](\sqrt{5} - \sqrt{2})*(3^x- \frac{27}{3^x})-(\sqrt{6} - \sqrt{2})*( \frac{2}{2^{2x}}- \frac{2^{2x}}{32}) =0[/tex]
[tex](\sqrt{5} - \sqrt{2})*(3^x- \frac{27}{3^x})+ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{32} *(2^{2x}- \frac{64}{2^{2x}}) =0[/tex]
[tex](\sqrt{5} - \sqrt{2})*(3^x- \frac{3^3}{3^x})+ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{32} *(4^{x}- \frac{4^3}{4^{x}}) =0[/tex]
В общем, дальше я не знаю, что делать, разложить их на множители не получается.
Вольфрам Альфа показывает, что единственный корень x = 3/2;
соответственно ответ: 6x = 6*3/2 = 9

[tex]\displaystyle( \sqrt{5} - \sqrt{2} ) 3^{x} - \frac{ 3^{4-x} }{ \sqrt{5} + \sqrt{2} } - ( \sqrt{6}- \sqrt{2} ) 2^{1-2x} + \frac{ 2^{2x-3} }{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } =0\\\frac{3^{x+1}-3^{4-x}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}+\frac{-2^{3-2x}+2^{2x-3}}{\sqrt6+\sqrt2}=0|*(\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2)\\(\sqrt6+\sqrt2)(3^{x+1}-3^{4-x})+(\sqrt5+\sqrt2)(2^{2x-3}-2^{3-2x})=0[/tex]
На этом месте следствие зашло в тупик, т.к. логичных преобразований не нашлось поэтому было принято решение действовать в лоб.Если посмотреть на выражение можно предположить что выражение примет значение 0, если оба слагаемых будут 0.Поэтому:
[tex]\begin{cases}3^{x+1}-3^{4-x}=0\\2^{2x-3}-2^{3-2x}=0\end{cases}\\3^{x+1}-3^{4-x}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2^{2x-3}-2^{3-2x}=0\\3^{x+1}=3^{4-x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2^{2x-3}=2^{3-2x}\\x+1=4-x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x-3=3-2x\\2x=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x=6\\x=1,5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=1,5[/tex]
Получено одно решение, поэтому ответ будет 6*1,5=9