y'+ycos x=2cosx y(0)=4

[tex]y'+(y-2)\cos x=0;\ (y-2)'=-(y-2)\cos x;\ y-2=p(x);[/tex]

[tex]p'=-p\cos x - [/tex] это линейное однородное уравнение; чтобы его решить, достаточно угадать ненулевое частное решение [tex]p_1(x);[/tex] общее решение будет иметь вид [tex]p=Cp_1(x).[/tex] Анализируем информацию. При взятии производной, функция p(x) не изменилась (так ведет себя показательная функция), но умножилась на [tex]-\cos x, [/tex] что есть производная [tex]-\sin x.[/tex] Поэтому в качестве [tex]p_1(x)[/tex] можно взять [tex]p_1(x)=e^{-\sin x}\Rightarrow p=Ce^{-\sin x}.[/tex] Отсюда [tex]y=2+Ce^{-\sin x}[/tex]. Остается найти решение, удовлетворяющее начальным условиям: 

[tex] \left \{ {{y=4} \atop {x=0}} \right. \Rightarrow [/tex] [tex]4=2+Ce^{0};\ C=2\Rightarrow y=2+2e^{-\sin x}[/tex]

Ответ: [tex]y=2+2e^{-\sin x}[/tex]