Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.
xy'-y=x^3+x

Решим методом Лагранжа:
Найдем решения однородного уравнения:
xy'-y=0  | * dx/(xy)
dy/y - dx/x=0
Интегрируем
∫1/y dy - ∫1/x dx = C
ln|y|-ln|x|=C
ln|y/x|=C
y/x=e^c
заменим е^c на С
y/x=C
y=Cx - решение однородного уравнения
заменим С на функцию С=u(х), Тогда:
y=u(x)*x
y'=u'(x)*x+u(x)
Подставляем в исходное уравнение:
x²*u'(x)+x*u(x)-x*u(x)=x³+x
x²*u'(x)=x³+x
u'(x)=x+1/x
u(x)=∫(x+1/x)dx +C (это новое С=константа)
u(x)=x²/2 + ln(x)+C
Получили:
y(x)=(x²/2 + ln(x)+C)*x=x³/2 + x*ln(x)+x*C
Как упростить не имею представления. Удачи!

Подумал и решил еще одно решение добавить...

[tex]xy'-y= x^{3} +x | :x \\ \\ y'- \frac{y}{x} = x^{2} +1 \\ \\ p(x)=- \frac{1}{x} \\ \\ \int\limits} p(x) \, dx = \int\limits} - \frac{1}{x} \, dx =-ln(x)=ln( \frac{1}{x}) \\ [/tex]
Интегрирующий множитель:

[tex]e^{ \int\limits {p(x)} \, dx } =e^{ ln(\frac{1}{x})} = \frac{1}{x} \\ \\ y'- \frac{y}{x} = x^{2} +1 | * \frac{1}{x} \\ \\ y'*( \frac{1}{x})-( \frac{1}{ x^{2} } )*y= x+ \frac{1}{x} \\ \\ y'*( \frac{1}{x})+( \frac{1}{ x } )'*y= x+ \frac{1}{x} \\ \\ ( \frac{y}{x})'= x+ \frac{1}{x} \\ \\ \frac{y}{x}= \int {(x+ \frac{1}{x} )} \, dx +C \\ \\ y=x*( \frac{ x^{2} }{2} +ln(x)+C) \\ \\ y= \frac{1}{2} x^{3} +x*ln(x)+x*C [/tex]

[tex]xy'-y=x^3+x\\y=uv;y'=u'v+v'u\\xu'v+xv'u-uv=x^3+x\\xu'v+u(xv'-v)=x^3+x\\\begin{cases}xv'-v=0\\u'v=x^2+1\end{cases}\\\frac{xdv}{dx}-v=0\\\frac{dv}{v}=\frac{dx}{x}\\\int\frac{dv}{v}=\int\frac{dx}{x}\\ln|v|=ln|x|\\v=x\\\frac{xdu}{dx}=x^2+1\\du=(x+\frac{1}{x})dx\\\int du=\int(x+\frac{1}{x})dx\\u=\frac{x^2}{2}+ln|x|+C\\y=\frac{x^3}{2}+xln|x|+Cx[/tex]