Решить дифференциальное уравнение
xy'+2xy-1=0

Разделим обе части уравнения на x
[tex]y'+2y= \frac{1}{x} [/tex]
Это дифференциальное уравнение первого порядка, линейное и неоднородное.
Пусть [tex]y=uv[/tex] тогда [tex]y'=u'v+uv'[/tex]
[tex]u(2v+v') + u'v= \frac{1}{x}[/tex]

1) предполагаем что первое слагаемое равен нулю
[tex]2v+v'=0[/tex]
А это уравнение с разделяющимися переменными, то есть, проинтегрируем обе части уравнения, получим
[tex]v=e^{-2x}[/tex]

2) [tex]\displaystyle u'v=\frac{1}{x}\\ u'e^{-2x}=\frac{1}{x}\\ \\ u= \int\limits {\frac{e^{2x}}{x}} \, dx +C[/tex]

Обратная замена

[tex]\displaystyle y=uv=e^{-2x}\bigg(\int\limits {\frac{e^{2x}}{x}} \, dx +C\bigg)[/tex]