На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответствующие точки D и E так,что угол АСD = углу CAE.Докажите что, AD=CE.

Дано :

ΔАВС - равнобедренный (АВ = ВС).

D ∈ AB, Е ∈ ВС.

АЕ ∩ CD = О.

∠ACD = ∠CAE.

Доказать :

AD = CE.

Доказательство :

Рассмотрим ΔАОС.

• Если в треугольнике два угла равны, то он - равнобедренный.

Следовательно, ΔАОС - равнобедренный. Причём АО = ОС (боковые стороны), так как лежат против равных углов в одном треугольнике.

Рассмотрим ΔАВС.

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Так как ΔАВС - равнобедренный (по условию), то ∠А = ∠С.

Тогда -

∠А = ∠DAO + ∠CAE

∠C = ∠ECO + ∠ACD

Учитывая равенство ∠ACD = ∠CAE и ∠А = ∠С, получаем, что ∠DAO = ∠ECO.

Рассмотрим ΔDOA и ΔEOC.

∠DOA = ∠EOC как вертикальные

∠DAO = ∠ECO по выше сказанному

АО = ОС по выше сказанному

Тогда ΔDOA = ΔEOC по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

• В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Так как ∠DOA = ∠EOC, то по выше сказанному AD = CE.

Ответ :

Что требовалось доказать.