какой цифрой оканчивается число 777в степени 200??

Во-первых, 777≡7 (mod 10), следовательно, [tex]777^{200}[/tex]≡[tex]7^{200} [/tex] (mod 10). Найдем несколько степеней числа 7:

[tex]7^0=1[/tex]
[tex]7^1=7[/tex]
[tex]7^2=49[/tex]
[tex]7^3=343[/tex]
[tex]7^4=2401[/tex]
[tex]7^5=16807[/tex]

Заметим, что [tex]7^0[/tex] и [tex]7^4[/tex] оканчиваются на одну цифру 1; [tex]7^1[/tex] и [tex]7^5[/tex] также оканчиваются на одну цифру 7. Последняя цифра в степенях числа 7 будет повторяться через 4, т.е., более строго, для любых целых неотрицательных чисел m и n верно утверждение:

[tex]7^{4m+n}[/tex]≡[tex]7^n[/tex] (mod 10)

Подставим m=50, n=0 и получим:

[tex]7^{4*50+0}[/tex]≡[tex]7^0[/tex] (mod 10)

То есть,

[tex]7^{200}[/tex]≡[tex]1[/tex] (mod 10)

Так как

[tex]777^{200}[/tex]≡[tex]7^{200}[/tex] (mod 10), то

[tex]777^{200}[/tex]≡[tex]1[/tex] (mod 10).

Это значит, что последняя цифра в десятичной записи числа [tex]777^{200}[/tex] равна 1.

Ответ: цифрой 1.