В четырёхугольнике ABCD на стороне AB отмечена точка F, причём известно, что AF=FC, BC=CD, AB=AD. Докажите,что FC||AD.

Проведем в данном четырехугольнике диагональ BD.

По услоию AF=FC, BC=CD, AB=AD ⇒

∆ АВD и ∆ ВСD - равнобедренные. 

Рассмотрим треугольники АВС и АDС. Они равны по трем сторонам ( две по условию, сторона АС - общая)

Следовательно, ∠ВАС=∠DАС, ⇒ АС - биссектриса угла ВАD

В ∆ АFC стороны AF=CF, ∆ AFC – равнобедренный, ⇒ ∠FAC=∠FCA.  

Но ∠ВАС=∠САD (из доказанного равенства ∆ АВС и ∆ АDС).

Из этого следует ∠FCA=∠CAD, а эти углы - накрестлежащие при пересечении FC и AD секущей АС. 

Если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. ⇒

FC||AD. Доказано.