Найдите точки экстремума функции y=x^2e^x

Вычислим производную функции по формуле производной произведения

[tex](uv)'=u'v-uv'[/tex]

[tex]y'=(x^2e^x)'=(x^2)'\cdot e^x+x^2\cdot(e^x)'=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)[/tex]

Теперь приравниваем производную функции к нулю

[tex]xe^x(2+x)=0[/tex]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

[tex]x_1=0\\ e^x=0[/tex]

Уравнение решений не имеет, так как левая часть уравнения принимает только положительные значения.

[tex]2+x=0~~~\Rightarrow~~~ x_2=-2[/tex]

____+_____(-2)__-____(0)_____+_____

     [tex]\nearrow[/tex]                        [tex]\searrow[/tex]                     [tex]\nearrow[/tex]

Производная функции в точке х=-2 меняет знак с (+) на (-), следовательно, х=-2 - локальный максимум, а в точке х=0 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, x=0 - локальный минимум