решите уравнение sinx+cosx=1-sin2x

как-то так
[tex]sin(x)+cos(x)=1-sin(2x)[/tex]  (1)
[tex]sin(x)+cos(x)=1-2sin(x)cos(x)[/tex]
 обозначим
u=sin(x)
тогда
[tex]cos(x)= \sqrt{1-u^2} [/tex]
уравнение примет вид
[tex]u+ \sqrt{1-u^2}=1-2u \sqrt{1-u^2} [/tex]
возводим обе части равенства в квадрат (Вот тут влез лишний корень u=-1)
[tex]u^2+2u \sqrt{1-u^2}+1-u^2=1-4u \sqrt{1-u^2}+4u^2 (1-u^2) [/tex]
[tex]+6u \sqrt{1-u^2}=+4u^2 (1-u^2) [/tex] (ЖЖ)
[tex]3 \sqrt{1-u^2}=2u (1-u^2)[/tex] (Ж)
сокращаем на [tex] \sqrt{1-u^2} [/tex] при этом [tex]1-u^2[/tex]≠0 проверить
[tex]3 =2u \sqrt{1-u^2}[/tex]
снова обе части в квадрат
[tex]9 =4u^2 (1-u^2)[/tex]

[tex]-4u^4 +4u^2-9=0[/tex]

Проверьте Нигде не хомутнул.
Ну дальше уже проще
обозначим [tex]v=u^2[/tex]
-4v^2+4v-9=0
Да это уравнение вещественных корней не имеет, так как дискриминант <0, как справедливо заметили коллеги.
НО
Мы делили на [tex] \sqrt{1-u^2} [/tex] могли потерять решение
при [tex]1-u^2=0[/tex]
тогда (Ж) обращается в верное равенство.

Значит, надо рассмотреть уравнение
при [tex]1-u^2=0[/tex]
Ну а,это решение уже имеет корни
[tex]u_{1}=1[/tex]
[tex]u_{2}=-1[/tex]

u=sin(x)=-1 придется отбросить, ибо такое значение не удовлетворяет  исходному уравнению (1)

[tex] sin(x)=1 [/tex]

[tex]x= \frac{ \pi}{2}+2 \pi k [/tex]
где к целые числа
Да судя по рисунку мы еще потеряли корни.
Да там где (ЖЖ) мы делили (сокращали на 2u)
u=0 тоже обращает (ЖЖ) в верное равенство
Тогда
[tex]sin(x)=0[/tex]
И еще один набор корней
[tex]x=0+ n\pi [/tex]
где n целое n=0, +-1, +-2, +-3 и тд
Блин,  а судя по картинке, остаются только,
[tex]x=2 \pi n[/tex]
где n целое n=0, +-1, +-2, +-3 и тд

**********************************************