Решите уравнение:
[tex]sin(x)+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}(cos(x)-1)}=0[/tex]

[tex] \sqrt{ \frac{2- \sqrt{3} }{2}(cos(x)-1) } =-sin(x)[/tex]
Корень арифметический, то есть неотрицательный.
Значит, правая часть неотрицательна.
-sin x >= 0
sin x <= 0
Решение sin x = 0, cos x = 1 подходит, x1 = 2pi*k.
Решение sin x = 0, cos x = -1 не подходит.
ОДЗ: x ∈ (-pi + 2pi*k; 2pi*k]
Возводим левую и правую часть в квадрат
[tex] \frac{2- \sqrt{3} }{2}*cos(x) - \frac{2- \sqrt{3} }{2}=sin^2(x)=1-cos^2(x)[/tex]
[tex]cos^2(x)+ \frac{2- \sqrt{3} }{2}*cos(x)- \frac{2- \sqrt{3} }{2}-1=0[/tex]
[tex]2cos^2(x)+ (2- \sqrt{3})*cos(x)+ (-4+ \sqrt{3})=0[/tex]
Получили квадратное уравнение относительно cos x.
[tex]D=(2- \sqrt{3} )^2-4*2(-4+ \sqrt{3} )=4-4 \sqrt{3}+3+32-8 \sqrt{3}= \\ =39-12 \sqrt{3}=36-2*6 \sqrt{3}+3=(6- \sqrt{3} )^2 [/tex]
[tex]cos(x1)= \frac{-2+ \sqrt{3}-6+ \sqrt{3} }{4} = \frac{-4+ \sqrt{3} }{2} \ \textless \ -1[/tex] - не подходит
[tex]cos(x2)=\frac{-2+ \sqrt{3}+6- \sqrt{3} }{4} = \frac{4}{4} =1[/tex]
Получили тоже самое решение, cos x = 1, sin x = 0
Ответ: x = 2pi*k