10 класс
Определите все значения параметра, при которых уравнения x^2+ax+1=0 и x^2+x+a=0 имеют хотя бы один общий корень

Если уравнения имеют общий корень, то этот корень будет также корнем уравнения

[tex] x^{2} +ax+1= x^{2} +x+a[/tex]

Немного преобразуем это уравнение.

[tex]ax+1=x+a[/tex]
[tex]ax+1-x-a=0[/tex]
[tex]ax-x-a+1=0[/tex]
[tex]x(a-1)-(a-1)=0[/tex]
[tex](a-1)(x-1)=0[/tex]
[tex]a-1=0[/tex] или [tex]x-1=0[/tex]
[tex]a=1[/tex] или [tex]x=1[/tex]

Если a=1, то оба уравнения примут вид

[tex] x^{2} +x+1=0[/tex]

Дискриминант этого уравнения меньше нуля, поэтому, оно не имеет (действительных) корней, и этот случай нам не подходит.

Если x=1, то, подставив это значение (например) в первое уравнение, получим:

[tex]1^2+a*1+1=0[/tex]
[tex]a+2=0[/tex]
[tex]a=-2[/tex]

При этом значении a первое уравнение принимает вид

[tex]x^2-2x+1=0[/tex]

Оно имеет единственный корень x=1.

Второе уравнение при a=-2 принимает вид

[tex]x^2+x-2=0[/tex]

Оно имеет два корня: x=1 и x=-2.

Данный случай нам подходит, так как при a=-2 уравнения имеют общий корень x=1.

Получается, что единственный случай, который нам подходит - это a=-2.

Ответ: {-2}.