вычислите сумму
7+77+777+7777+...+

   
Видимо вам  нужно    реккурентная формула суммы 
[tex]7+77+(7*10^2+7*10+7)+(7*10^3+7*10^2+7*10+7)..\\ \frac{7(10^3-1)+7(10^4-1)....}{9} = [/tex] 
Заметим что разность   ,  можно записать как    
 [tex]7(10^3+10^4) = \frac{7(\frac{10^5-1}{9}-\frac{10^3-1}{9})}{9} [/tex] 
Тогда  общая сумма   равна 
 [tex]S_{n}=84+\frac{7(\frac{10^{n+2}-1}{9}-\frac{10^3-1}{9} ) - (n-1)*7)}{9} = \frac{7*10^{n+2}-63n-133} {81}[/tex]