Найдите промежутки монотонности функции
[tex]y = \frac{2}{x} + \frac{x}{2} [/tex]
Дайте развёрнутый ответ, пожалуйста.​

Ответ:

Функция возрастает на промежутках (–∞ ; –2) и (2 ; +∞), убывает на промежутках (–2 ; 0) и (0 ; 2).

Объяснение:

[tex]x\neq 0;[/tex]

[tex]y=\dfrac{2}{x}+\dfrac{x}{2};[/tex]

[tex]y'=-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{x^{2}};[/tex]

[tex]\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{x^{2}}=0;[/tex]

[tex]\dfrac{2}{x^{2}}=\dfrac{1}{2};[/tex]

[tex]x^{2}=4;[/tex]

[tex]x=-2 \quad \vee \quad x=2;[/tex]

[tex]x=-3: \quad \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{(-3)^{2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{9}{18}-\dfrac{4}{18}=\dfrac{5}{18} > 0;[/tex]

[tex]x=-1: \quad \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{(-1)^{2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{1}=\dfrac{1}{2}-2=-1\dfrac{1}{2} < 0;[/tex]

[tex]x=1: \quad \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{1^{2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{1}=\dfrac{1}{2}-2=-1\dfrac{1}{2} < 0;[/tex]

[tex]x=3: \quad \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3^{2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{9}{18}-\dfrac{4}{18}=\dfrac{5}{18} > 0;[/tex]

Производная данной функции возрастает на промежутках (–∞ ; –2) и

(2 ; +∞), а убывает на промежутках (–2 ; 0) и (0 ; 2), значит исходная функция убывает и возрастает на тех же промежутках.