после наречия ставится инфинитив в английском языке? Например как перевести на английский: "Это помогло мне справиться с проблемами и успешно решить их."?

It helped me to solve problems successfully. 
Разве от наречия здесь что-нибудь зависит?) Наречие в данном случае - второстепенный член предложения, от него ничего не зависит. Инфинитив же входит в состав сказуемого, и по-другому написать его невозможно :)