50 баллов.
Доказать, что любая монотонная на R функция непрерывна всюду , кроме не более чем счётного множества, причем в точке этого множества существуют пределы функции слева и справа.

Докажем сначала вторую часть теоремы. Не ограничивая общности будем считать, что функция монотонно неубывает (для невозрастающей доказательство аналогичное). Возьмем точку [tex]x_0[/tex]. Так как функция монотонна на R, то для [tex]\forall x, x\ \textless \ x_0 \Rightarrow f(x)\leq f(x_0)[/tex]. Пусть y - точная верхняя грань [tex]\{f(x)| x\ \textless \ x_0\}[/tex]. Для [tex]\forall \varepsilon \ \textgreater \ 0 \Rightarrow y-\varepsilon[/tex] не является верхней гранью данного множества. Поэтому [tex]\exists x'\ \textless \ x_0: y-\varepsilon\ \textless \ f(x') [/tex].
[tex]\forall x,\, x'\ \textless \ x\ \textless \ x_0 \Rightarrow y-\varepsilon\ \textless \ f(x')\leq f(x)\leq y\ \textless \ y+\varepsilon\Rightarrow |f(x)-y|\ \textless \ \varepsilon[/tex]
Если ввести [tex]\delta=\delta(\varepsilon)=x_0-x'[/tex], то получится как раз определение предела слева по Коши.
Аналогично доказывается существование правого предела.
Из существования левого и правого предела следует, что могут существовать лишь точки разрыва 1-го рода.
Если в точке x функция терпит разрыв, то f(x+0)>f(x-0). Так как f(x+0) и f(x-0) имеют вещественные значения, то существует некоторое рациональное число, лежащее между двумя данными. Назовем его h(x). Сопоставим каждой точке разрыва функции f некоторое рациональное число h(x) по правилу, описанному выше. Если [tex]x_1< x_2[/tex] - две точки разрыва, то [tex]f(x_1+0)\leq f(x_2-0)\Rightarrow h(x_1)\ \textless \ h(x_2)[/tex]. Отсюда разным точкам разрыва соответствуют различные h(x). Рациональных чисел счетное число, поэтому h(x) - не более чем счетно.