вал вращается с угловой скоростью -2 рад/с2, сколько оборотов сделал вал при изменении частоты вращения от 240 до 90 об/мин

*** Ошибка в условии. Должно быть:

Вал вращается с УГЛОВЫМ УСКОРЕНИЕМ -2 рад/с2, сколько оборотов сделал вал при изменении частоты вращения от 240 до 90 об/мин?


Дано:
[tex] \beta = - 2 [/tex] Гц² ;
[tex] f_{_1} = 240 [/tex] / мин [tex] = 4 [/tex] / сек [tex] = 4 [/tex] Гц ;
[tex] f_{_2} = 90 [/tex] / мин [tex] = 1.5 [/tex] / сек [tex] = 1.5 [/tex] Гц ;

Найти:
[tex] N_{_{12}} = [/tex] оборотов между заданными частотами с заданным угловым ускорением.


Решение:

В одном обороте [tex] 2 \pi [/tex] радиан. Стало быть:

[tex] N_{_{12}} = \Delta \phi_{_{12}} / 2 \pi [/tex] – формула [1] ;


Через безвременнýю формулу [tex] 2 \beta \Delta \phi_{_{12}} = \omega_{_2}^2 - \omega_{_1}^2 [/tex] найдём:

[tex] \Delta \phi_{_{12}} = \frac{ \omega_{_2}^2 - \omega_{_1}^2 }{ 2 \beta } [/tex] – формула [2] ;


Выразим [tex] \omega [/tex] через [tex] f [/tex] и подставим в [2] :

[tex] \omega = \frac{ 2 \pi }{T} = 2 \pi f [/tex] ;

[tex] \omega = 2 \pi f [/tex] – формула [3] ;


Подставим [3] в формулу [2] и получим:

[tex] \Delta \phi_{_{12}} = \frac{1}{ 2 \beta } ( ( 2 \pi f_2 )^2 - ( 2 \pi f_1 )^2 ) [/tex] ;

[tex] \Delta \phi_{_{12}} = \frac{ 2 \pi^2 }{ \beta } ( f_2 ^2 - f_1^2 ) [/tex] – формула [4] ;


Подставим [4] в формулу [1] и получим:

[tex] N_{_{12}} = \Delta \phi_{_{12}} / 2 \pi = \frac{ 2 \pi^2 }{ 2 \pi \beta } ( f_2 ^2 - f_1^2 ) [/tex] ;

[tex] N_{_{12}} = \frac{ \pi }{ \beta } ( f_2^2 - f_1^2 ) [/tex] ;


Остался только арифметический расчёт.

[tex] N_{_{12}} = \frac{ 3.142 }{ -2 } ( 1.5^2 - 4^2 ) = 21.6 [/tex] оборотов .