Вычислить координаты вершины С равностороннего треугольника АВС, если даны координаты А(-9,10), В(-1,4)
(Должно получится 2 точки,только как?)

>>> идёт оформление рисунка <<< ожидайте ...

Задача решается через векторы.
Построим вектор [tex] \overline{AB} ( (-1)-(-9) , 4-10 ) = \overline{AB} ( 8 , -6 ) [/tex] ;

Середина D отрезка AB может быть найдена откладыванием половины вектора [tex] \overline{AB} [/tex] от точки A

[tex] \frac{1}{2} \overline{AB} = \overline{ ( 4 , -3 ) } [/tex] ;

Итак D( -9+4, 10-3 ) = D( -5, 7 ) ;

От точки D нужно отложить вектор высоты [tex] \overline{h} [/tex] в обе возможные стороны

Вектор высоты [tex] \overline{h} [/tex] перпендикулярен вектору основания [tex] \overline{AB} [/tex], а значит его проекции накрест-пропорциональны с противоположным знаком:

(I) [tex] \frac{x_h}{y_h} = -\frac{ y_{AB} }{ x_{AB} } [/tex], что непосредственно следует из скалярного произведения, поскольку для перпендикулярных векторов должно выполняться: [tex] x_h * x_{AB} + y_h * x_{AB} = 0 [/tex] (II) ;

Таким образом вектор [tex] \overline{h} [/tex] пропорционален вектору [tex] \overline{h_o} ( 3 , 4 ) [/tex] , поскольку для вектора [tex] \overline{h_o} [/tex] выполняется и равенство (I) и равенство (II) осталось лишь найти масштаб вектора [tex] \overline{h} [/tex] ;

Вектор [tex] \overline{h_o} [/tex] имеет длину [tex] h_o = \sqrt{ x_{ho}^2 + y_{ho}^2 } = \sqrt{ 3^2 + 4^2 } = \sqrt{ 25 } = 5 [/tex] ;

Аналогично, AB = 10

При этом, поскольу треугольник равносторонний, то значит его высота составляет [tex] h = \frac{ \sqrt{3} }{2}AB [/tex], т.к [tex] \cos{ 60^o } = \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex] ;

Значит [tex] h = 5 \sqrt{3} [/tex], а стало быть [tex] h = \sqrt{3} h_o [/tex] ;

В итоге [tex] \overline{h} ( 3\sqrt{3} , 4\sqrt{3} ) [/tex].

Откладываем этот вектор в разные стороны (+\-) от точки D( -5, 7 ) и получаем:



ОТВЕТ:

[tex] C_1 ( 3\sqrt{3} - 5 , 7 + 4\sqrt{3} ) [/tex] /// примечание: [tex] 3\sqrt{3} > 5 [/tex] ;

[tex] C_2 ( - 3\sqrt{3} -5 , 7 - 4\sqrt{3} ) [/tex] /// примечание: [tex] 4\sqrt{3} < 7 [/tex] .