В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, делит прямой угол в отношении 1:2. Докажите, что она делит гипотенузу в отношении 1:3.

Высота делит прямой угол на углы 60 градусов и 30 градусов. Значит и в треугольнике были углы 30 и  60 градусов.
Если гипотенуза С, то катеты 0,5 *C  и Sqrt(3)*0,5 *C. Гипотенуза делится на отрезки 0.5С*0,5=0,25*С  и   Sqrt(3)*0,5 *C(3)*0,5 * Sqrt(3)*0,5 *C=0,75 С
Отношение отрезков 0,25:0,75=1:3
Что и требовалось.
Здесь Sqrt(3) - квадратный корень из 3.