Продолжение медианы треугольника ABC, проведённой из A,  пересекает описанную около него окружность в точке D. Известно, что  AC=DC=1. Найти длину BC

Рассмотрим треугольники АВС и АОС.  У них <C - общий, а <ABC=<OAC (так как АС=DC, значит треугольник АDС равнобедренный и вписанные углы DAC и ADC равны, но и <ABC опирается на дугу АС, значит <ABC=<ADC=<OAC).
Из подобия треугольников имеем соотношение:
АС/ВС=ОС/АС или АС²=ВС*ОС. Но ОС равно половине ВС, а АС=1 (дано). То есть имеем: 1=ВС²/2, отсюда ВС=√2.
Ответ: ВС= √2.