В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причем угол NKP острый. Докажите, что KP < MP.

 Дано и рисунок, надеюсь, запишешь сам(а).
Доказательство:
1) угол NKP - острый =>  угол MKP - тупой 
2) Рассмотрим треугольник MKP:
 MKP - тупой угол (это  мы доказали ранее)
угол KMP - острый
угол MPK - острый    
из этого следует, что против большего угла лежит большая сторона (следствие)
=> КР < МР.