На окружности даны три точки: A, B, C. Можно ли с помощью циркуля и линейки отметить на этой окружности такую точку D, чтобы в четырёхугольник ABCD можно было вписать окружность?

Можно. Но хлопотно. Чтобы доказать, что можно , построение делать необязательно. Раз есть точки АВД, то найти точку С можно из следующих соображений.
Пуссть диагональ АД=к. Ясно, что достаточно найти (построить ) диагональ АС=р.
Есть теорема Птолемея для вписанного четырехугольника.
 рк=ас+вд. Здесь АВ=а, ВС=в, ВД=с, АД=д
в и д неизвестны.
Однако, поскольку четырехугольник описанный : в-д=а-с.
Тогда ясно, что р строится циркулем и линейкой при помощи стандартных построений.