Основания равнобокой трапеции равны 30 см и 40 см, а диагональ - 37 см. Найдите площадь трапеции.

Ответ:

[tex]S_{ABCD} = 420[/tex] см²

Объяснение:

Обозначим данную равнобедренную трапецию буквами [tex]ABCD[/tex].

[tex]AB = 30[/tex] см, [tex]CD = 40[/tex] см, [tex]AC = 37[/tex] см.

=======================================================

Проведём высоты [tex]AY[/tex] и [tex]BL[/tex] к основанию данной трапеции [tex]CD[/tex].

[tex]AY = BL[/tex], так как [tex]ABLY[/tex] - прямоугольник.

Так как [tex]AY[/tex] и [tex]BL[/tex] - высоты ⇒ [tex]\triangle DAY[/tex] и [tex]\triangle CBL[/tex] соответственно - прямоугольные.

Так как данная трапеция - равнобедренная ⇒ [tex]\triangle DAY = \triangle CBL[/tex], по гипотенузе и острому углу ([tex]AD = BC[/tex], по свойству равнобедренной трапеции; [tex]\triangle D = \triangle C[/tex], по свойству равнобедренной трапеции).

[tex]CL = DY = \dfrac{CD - AB}{2} = \dfrac{40 - 30}{2} = 5[/tex] см.

Т.е. [tex]YL = 30[/tex] см, а [tex]YC = 35[/tex] см.

[tex]\triangle AYC[/tex] - прямоугольный, так как [tex]AY[/tex] - высота.

Найдём высоту [tex]AY[/tex] по теореме Пифагора [tex](a^2 = c^2 - b^2)[/tex]

[tex]AY = \sqrt{AC^2 - YL^2} = \sqrt{37^2 - 35^2} = \sqrt{144} = 12[/tex] см.

[tex]S_{ABCD} = \dfrac{AB + CD}{2 \cdot AY} = \dfrac{30 + 40}{2 \cdot 12} = 420[/tex] см²