через середину О отрезка АВ проведена прямая , перпендикулярная прямой АВ. докажите , что каждая точка с этой прямой одинаково удалена от точек А и В

Если мы возьмем точку O, то рассмотри точки принадлежащие перпендикуляру.
AO=OB, и перпендикуляр, а значит любой треугольник образованный точками AB и перпендикулярной прямой будет равнобедренным.
А значит вершина треугольника будет раноудалена от точек  A и B.