в треугольник,углы которого относятся как 1:2:6,вписана окружность.Найдите углы между радиусами,проведёнными в точки касания

найдите радиус окружности, вписанной в равнбедренный треугольник с основанием 12 см и периметров 32 см

в равнобедренной трапеции MNPK диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите радиус окружности, писанной около трапеции, если диагональ ранва 12 см а боковая сторона 9 см

[tex]1)[/tex]

Пусть дан Δ [tex]ABC[/tex] , в который вписана окружность [tex]w (O;R)[/tex]

[tex]\ \textless \ A=2x[/tex]

[tex]\ \textless \ B=x[/tex]

[tex]\ \textless \ C=6x[/tex]

Сумма всех углов треугольника равна 180°, т. е.

[tex]\ \textless \ A+\ \textless \ B+\ \textless \ C=180^\circ [/tex]

[tex]2x+x+6x=180[/tex]

[tex]9x=180[/tex]

[tex]x=20^\circ [/tex] - [tex]\ \textless \ B[/tex]

[tex]2*20=40^\circ [/tex] - [tex]\ \textless \ A[/tex]

[tex]6*20=120^\circ [/tex] - [tex]\ \textless \ C[/tex]

[tex]OK[/tex] ⊥ [tex]AB[/tex]

[tex]OL[/tex] ⊥ [tex]CB[/tex]

[tex]OM[/tex] ⊥ [tex]AC[/tex]

из  четырехугольника [tex]AMOK[/tex] 

[tex]\ \textless \ KAM+\ \textless \ AMO+\ \textless \ MOK+\ \textless \ OKA=360^\circ [/tex]

[tex]40^\circ +90^\circ +\ \textless \ MOK+90^\circ =360^\circ [/tex]

[tex]\ \textless \ MOK+220^\circ =360^\circ [/tex]

[tex]\ \textless \ MOK =140^\circ [/tex]

Из четырехугольника [tex]MCLO[/tex]

[tex]\ \textless \ OMC+\ \textless \ MCL+\ \textless \ CLO+\ \textless \ LOM=360^\circ [/tex]

[tex]90^\circ +120^\circ +90^\circ+\ \textless \ LOM =360^\circ [/tex]

[tex]\ \textless \ LOM+300^\circ =360^\circ [/tex]

[tex]\ \textless \ LOM=60^\circ [/tex]

из четырехугольника [tex]LOKB[/tex]

[tex]\ \textless \ OLB+\ \textless \ LBK+\ \textless \ BKO+\ \textless \ KOB=360^\circ[/tex]

[tex]90^\circ +20^\circ +90^\circ+\ \textless \ KOL =360^\circ [/tex]

[tex]200^\circ+\ \textless \ KOL =360^\circ [/tex]

[tex]\ \textless \ KOL =160^\circ [/tex]

Ответ: [tex]60^\circ ;[/tex]  [tex]140^\circ ;[/tex]  [tex]160^\circ [/tex]

[tex]2)[/tex]
Δ [tex]ABC-[/tex] равнобедренный,  значит [tex]AB=BC[/tex]

[tex]AC=12[/tex] см

[tex] P_{ABC}=32 [/tex] см

[tex] P_{ABC} =AB+BC+AC[/tex] , так как [tex]AB=BC[/tex], то 

[tex] P_{ABC}=2AB+AC [/tex]

[tex]2AB+12=32[/tex]

[tex]2AB=20[/tex]

[tex]AB=10[/tex] (см) 

[tex]r= \frac{S}{p} [/tex] , где [tex]p= \frac{a+b+c}{2} [/tex] или [tex]p= \frac{P}{2} [/tex]

[tex]p= \frac{32}{2} =16[/tex]

[tex] S_{ABC}= \frac{1}{2}*AC*BM [/tex]

[tex]BM[/tex] ⊥ [tex]AC[/tex]  и [tex]AM=MC=6[/tex]

Δ [tex]BMA[/tex] -  прямоугольный

по теореме Пифагора найдем 

[tex]BM= \sqrt{AB^2-AM^2}= \sqrt{10^2-6^2}= \sqrt{64}=8 [/tex] (см)

[tex] S_{ABC= \frac{1}{2} } *12*8=48[/tex] (см²)

[tex]r= \frac{48}{16}=3 [/tex] (см)

Ответ: [tex]3[/tex] см

[tex]3)[/tex]
[tex]MNPK-[/tex] равнобедренная трапеция, около которой описана окружность [tex]w(O;R)[/tex]

[tex]MP=12[/tex] см

[tex]PK=9[/tex] см

[tex]MP[/tex] ⊥ [tex]PK[/tex] ( по условию)

значит Δ [tex]MPK -[/tex] прямоугольный

по теореме Пифагора найдём 

[tex]MK= \sqrt{MP^2+PK^2}= \sqrt{12^2+9^2}= \sqrt{144+81}= \sqrt{225}=15 [/tex] см

[tex]\ \textless \ MPK -[/tex] вписанный угол и [tex]\ \textless \ MPK=90^\circ [/tex] , значит опирается на диаметр окружности

[tex]MK=D[/tex]

[tex]D=2R[/tex]

[tex]2R=15[/tex]

[tex]R=7.5[/tex]

Ответ: [tex]7.5[/tex] см