Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром равным а. Точка К принадлежит ребру BB1. Точка L принадлежит ребру DD1. B1K:KB=1:3. D1L:LD=2:1. Точка F пересечение прямых KL и BD. Найдите длину BF

Проведём диагональное сечение куба ДВВ1.
В сечении получим 2 подобных треугольника KBF и LDF.
Обозначим BF за х.
В соответствии с заданием КВ = 3а/4, а  LD = а/3.
Диагональ ВД равна а√2, DF = х - а√2.
Составим пропорцию на основе подобия треугольников:
[tex] \frac{x}{ \frac{3a}{4} } = \frac{x-a \sqrt{2} }{ \frac{a}{3} } [/tex]
Отсюда получаем 5х = 9√2*а,
х = 9√2*а/5 = 1,8√2*а ≈  2.545584а.