Длина ка­те­та AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна 8 см. Окруж­ность с диа­мет­ром AC пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу AB в точке M . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC , если из­вест­но, что AM:MB=16:9 .

Окружность пересекает гипотенузу и касается второго катета. Гипотенуза является секущей, а второй катет касательной, тогда справедливо равенство ВС^2=BM*AB (1)

AM=16x, BM=9x, AB=25x, BC^2=AB^2-AC^2, BC^2=625x^2-64. Подставляем все данные в равенство (1)

625x^2-64=25x*9x

625x^2-225x^2=64

400x^2=64

x^2=0,16

x=0,4 см

AB=10 см

BC=6 см

S=1/2*AC*BC, S=1/2*8*6=24 кв.см.