Маленький вопросик. Если у прямоугольника диагонали равны, то он ромб?
Небольшой спор с другом.

Ахахахаахах,вас бы с другом сейчас Пифагор Самосский и Фалес с К.Ф.Гауссом серьёзно обругали.
У ромба диагонали вообще не равны никогда, исключая случай,что он квадрат.(где диагонали,кстати,взаимно перпендикулярны).
Если у параллелограмма(ромб и прямоугольник - частные его случаи) диагонали равны,но не перпендикулярны,то он - прямоугольник.
Как доказать?По равенству из определения параллелограмма о трёх сторонах.Следовательно,треугольники,лежащие по соседству ввиду вертикальных углов,равны по любому из признаков равенства,потому что диагонали параллелограмма делятся пополам точкой пересечения.
А дальше суммарно на бумаге углы складывать и получить 180 при боковой стороне.180\2 - так как треугольники равны(а 180-сумма односторонних,что следует из опр.парал.-ма)=90.