Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите отношение BK:AK, если площадь треугольника KBM вдвое больше площади трапеции AKMC
С подробным решением, пожалуйста

Если S(AKMC)=S, то S(KBM)=2S, то S(ABC)=S(AKMC)+S(KBM)=S+2S=3S.
Треугольники АВС и КВМ подобны по двум парам соответственным углам при параллельных прямых АС и КМ. тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
[tex] \frac{S(ABC)}{S(KBM)} = \frac{3S}{2S} = \frac{3}{2} =k^2\Rightarrow k= \sqrt{\frac{3}{2} } [/tex]
Находим отношение соответственных сторон треугольников АВС и КВМ, равное коэффициенту подобия:
[tex] \frac{BA}{BK} = \sqrt{\frac{3}{2} } \\\ \frac{BK+AK}{BK} = \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } \\\ \sqrt{2} BK+ \sqrt{2} AK= \sqrt{3} BK \\\ \sqrt{3} BK- \sqrt{2} BK= \sqrt{2} AK \\\ ( \sqrt{3} - \sqrt{2} )BK= \sqrt{2} AK \\\ \frac{BK}{AK} = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3}- \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2}( \sqrt{3}+ \sqrt{2}) }{ (\sqrt{3}- \sqrt{2})( \sqrt{3}+ \sqrt{2}) } =\sqrt{6}+ \sqrt{4} =2+\sqrt{6}[/tex]
Ответ: [tex]2+\sqrt{6}[/tex]

Если прямая КМ параллельна прямой АС,то <BKM=<BAC и <BMK=<BCA как соответственные углы при параллельных прямых КМ и АС и секущих АВ и ВС.Отсюда по первому признаку подобия треугольников следует,что ΔАВС подобен ΔКВМ.По теореме об отношении площадей подобных треугольников S(ABC)/S(KBM)=k²,где к-коэффициент подобия.
Пусть S(AKMC)=x,тогда S(KBM)=2x⇒S(ABC)=3x
S(ABC)/S(KBM)=3x/2x=3/2⇒k²=3/2⇒k=√(3/2)=√6/2
Если треугольники подобны,то их стороны пропорциональны⇒АВ/ВК=к,т.е. АВ/ВК=√6/2
АВ=ВК√6/2 и АК=АВ-ВК=ВК√6/2 -ВК=ВК(√6-2)/2
ВК/АК=ВК : ВК(√6-2)/2=2ВК/ВК(√6-2)=2*(√6+2)/(√6-2)(√6+2)=2(√6+2)/(6-4)=√6+2