Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найти боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

пусть дана пирамида SABCD, где ABCD - ромб
AB=BC=CD=AD=5
AC=8
SO - высота пирамиды
SO=7
AO=OC и BO=OD (по свойству ромба)
значит AO=4
SOA - прямоугольный 
по теореме Пифагора найдем 
[tex]SA= \sqrt{AO^2+SO^2}= \sqrt{4^2+7^2} = \sqrt{16+49} = \sqrt{65} [/tex]
[tex]AS=SC= \sqrt{65} [/tex]
[tex]S=a^2*sin \alpha [/tex]
рассмотрим  ACD:
по теореме косинусов:
[tex]AC^2=AD^2+DC^2-AD*DC*cos\ \textless \ ADC[/tex]
[tex]64=25+25-50*cos\ \textless \ ADC[/tex]
[tex]cos\ \textless \ ADC= \frac{14}{50} = \frac{7}{25} [/tex]
[tex]sin\ \textless \ ADC= \sqrt{1-( \frac{7}{25})^2 } = \frac{24}{25} [/tex]
[tex]S=5^2* \frac{24}{25} =25* \frac{24}{25} =24[/tex]  (см²)
с другой стороны 
[tex]S= \frac{1}{2} *d_1*d_2[/tex]
[tex]24= \frac{1}{2} *8*d_2[/tex]
[tex]d_2=6[/tex]
[tex]BD=6[/tex]
BO=OD=3
SOB - прямоугольный 
по теореме Пифагора 
[tex]SB= \sqrt{SO^2+BO^2}= \sqrt{49+9} = \sqrt{58} [/tex]
[tex]SB=SD= \sqrt{58} [/tex]
Ответ: [tex] \sqrt{65} [/tex] см; [tex] \sqrt{58} [/tex] см

Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся в точке пересечения пополам.
Рассмотрим треугольник образованный половиной данной диагонали и стороной ромба - прямоугольный.
По т. Пифагора - неизвестный катет - √(5²-4²)=3 см - вторая полудиагональ ромба.
Рассматриваем треугольник образованный большей полудиагональю ромба и высотой - прямоугольный.
По т. Пифагора - гипотенуза - 
√(4²+7²)=√65 - большее боковое ребро пирамиды.
Рассматриваем треугольник образованный меньшей полудиагональю ромба и высотой - прямоугольный.
 По т. Пифагора - гипотенуза - 
√(3²+7²)=√58 - меньшее боковое ребро пирамиды.