В треугольнике АВС, CD-биссектриса. Доказать, что CD^2(в квадрате)=АС*СВ-АD*DB.

 
 Если обозначит дополнительно [tex] \angle CDA= \beta =b\\ [/tex] 
 то получим из треугольников  [tex] \Delta ACD; \ \Delta CDB[/tex] 
  По теореме  синусов 
 [tex] \frac{AC}{sinb}=\frac{AD}{sina }\\ \frac{BC}{sinb}=\frac{BD}{sina}\\ \frac{CD}{sin(a+b)}=\frac{AD}{sina}\\ \frac{CD}{sin(b-a)}=\frac{BD}{sina} [/tex] 
 Приравнивая  попарно получаем  
 [tex] \frac{AC}{sinb}=\frac{CD}{sin(a+b)}\\ \frac{BC}{sinb}=\frac{CD}{sin(b-a) }\\ CD^2=\frac{AC*BC*sin(a+b)sin(b-a)}{sin^2b}=AC*BC*(1-\frac{sin^2a}{sin^2b})\\ \frac{AC*BC}{sin^2b}=\frac{AD*BD}{sin^2a}\\ \frac{sin^2a}{sin^2b}=\frac {AD*BD}{AC*BC}\\ CD^2=AC*BC-AC*BC*\frac{AD*BD}{AC*BC} = AC*BC-AD*BD[/tex]
 чтд