Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основы. Найдите этот угол.

Обозначим заданные углы α, сторона основания а, боковое ребро L.

Проекция бокового ребра на основание равна длине стороны основания (свойства правильной шестиугольной пирамиды).
cos α = a/L.                                              (1)
В боковой грани sin (α/2) = (a/2)/L.
Используем формулу двойного угла:
cos α = 1 - 2sin²(α/2) и подставим значение синуса половинного угла.
cos α = 1 - 2*(a²/(4L²)) = 1 - a²/(2L²).       (2)
Приравняем значения косинуса искомого угла по формулам (1) и (2).
a/L =  1 - a²/(2L²).
Замена: a/L =  х.
Тогда х = 1 - (х²/2).
Получаем квадратное уравнение: 
х² + 2х - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*(-2)=4-4*(-2)=4-(-4*2)=4-(-8)=4+8=12;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√12-2)/(2*1)=(√12/2)-(2/2)= √3-1 ≈ 0.73205;x_2=(-√12-2)/(2*1)=-√12/2-2/2=-√3-1 ≈ -2.73205 (отбрасываем).
Искомый угол равен arc cos (√3-1) =  0,749469 радиан = 42,9414°.