Площадь круга,ограниченного окружностью, описанной около прямоугольника ABCD  , равна [tex] \frac{169}{4} [/tex] [tex] \pi [/tex] см² . расстояние от вершины B  до прямой, содержащей диагональ  AC, равно 6 см. вычислите площадь прямоугольника

Окружность описана вокруг прямоугольника. 
Диаметром описанной окружности является диагональ прямоугольника . 
Найдем этот диаметр из формулы площади круга:
S=πr² 
r²=S:π
r²=π(169:4):π
r=13/2
d=2r=13 см
Расстояние от точки до прямой - отрезок, перпендикулярный этой прямой.
Расстояние от вершины B до прямой, содержащей диагональ AC, - это высота ВН ⊿АВС, опущенная из прямого угла на гипотенузу АС. 
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого 
угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
 ВН²=АН*НС
Пусть АН=х, тогда НС=13-х
36=х(13-х)
х²-13х+36=0
Решив квадратное уравнение, получим два корня: 4 и 9.
АН=4, НД=9
По т.Пифагора из прямоугольного треугольника АВН найдем АВ.
АВ²=36+16=52
АВ= √52
ВС²=81+36=117 
ВС=√117
Площадь прямоугоольника равна произведению его сторон:
S=АВ*ВС=√52*√117=√6084=78 см²