Докажите, что вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит гипотенузу на отрезки, произведение длин которых равно площади этого треугольника.

Проведём три радиуса в точки касания.
Рассмотрим фигуру ODBF.
OD = OF, ∠ODB = ∠OFB = 90° (т.к. радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной) . Тогда ODBF - квадрат ⇒ OD = OF = BF = DB.
Выразим теперь площадь треугольника через радиус вписанной окружности и периметр:
[tex]S_{ABC} = \dfrac{1}{2}(AB + BC + AC) \cdot r = \\ \\ = \dfrac{1}{2}OD \cdot (AD + DB + BF + FC + EC + AE) = \\ \\ \dfrac{1}{2}OD( 2OD + 2AE + 2EC) = [/tex] 
А теперь через катеты:
[tex]S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC = \dfrac{1}{2}(AD + DB)(BF + FC) = \\ \\ = \dfrac{1}{2}(DO + EC)(DO + AE) = \\ \\ = \dfrac{1}{2}(DO^2 + DO \cdot AE + EC \cdot DO + EC \cdot AE)[/tex] [tex]= OD(OD + AE + EC) \ \ \ \ \ (1)[/tex]
Приравняем теперь две данные формулы площади:
[tex]\dfrac{1}{2}(DO^2 + DO \cdot AE + EC \cdot DO + EC \cdot AE) = OD(OD + AE + EC) \\ \\ DO^2 + DO \cdot AE + EC \cdot DO + EC \cdot AE = 2OD(OD + AE + EC) \\ \\ DO^2 + DO \cdot AE + EC \cdot DO + EC \cdot AE = 2OD^2+ 2OD \cdot AE + \\ + 2OD \cdot EC \\ \\ AE \cdot EC = 2OD^2+ 2OD \cdot AE + 2OD \cdot EC - DO^2 - DO \cdot AE - \\ - EC \cdot DO - EC \cdot AE \\ \\ AE \cdot EC = OD^2 + OD \cdot AE + OD \cdot EC \\ \\ AE \cdot EC = OD(OD + AE + EC)[/tex]
Мы пришли к формуле (1), через которую находили площадь треугольника. Значит, площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые вписанная окружность делит гипотенузу.