Хелп, плиз

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды. Градусная мера угла наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания равна 45 градусов.
Вычислите площадь осевого сечения конуса, если расстояние от центра основания пирамиды до образующей конуса равно 2 см

Ответ

Анонимно

По условию [tex]MABCD [/tex] - правильная четырехугольная пирамида, около которой описан конус

[tex]MO [/tex] ⊥ [tex](ABC)[/tex]

∠ [tex]MKO=45^\circ [/tex]

[tex]OF= 2 [/tex] см

Δ[tex]AMC[/tex] - осевое сечение конуса, где [tex]AM [/tex] и [tex]MC[/tex] - образующие конуса

Так как [tex]MABCD[/tex] - правильная четырехугольная пирамида,

значит в основании лежит квадрат [tex]ABCD[/tex]

[tex]AC[/tex] ∩ [tex]BD=O[/tex]

[tex]MO [/tex] ⊥ [tex](ABC)[/tex]

Проведём [tex]MK[/tex] ⊥ [tex]BC,[/tex] тогда [tex]OK[/tex] ⊥ [tex]BC[/tex] и [tex]\ \textless \ MKO=45 ^\circ [/tex] как линейный угол двугранного угла

[tex]O[/tex] - центр окружности, описанной около квадрата

Значит расстояние от центра основания пирамиды до образующей конуса есть длина перпендикуляра [tex]OF[/tex], т. е. [tex]OF[/tex] ⊥ [tex]AM[/tex]

Пусть [tex]OK=KB=x,[/tex] тогда [tex]AB=2x[/tex]

[tex]d=a \sqrt{2} [/tex], где [tex]d[/tex] - диагональ квадрата, [tex]a[/tex] - сторона квадрата

[tex]AC=BD=2 \sqrt{2} x,[/tex] ( как диагонали квадрата)

[tex]AO=OC=OB=OD=x \sqrt{2} [/tex]

Δ [tex]MOK[/tex] - прямоугольный, равнобедренный, следовательно [tex]MO=x[/tex]

Рассмотрим Δ [tex]MOA[/tex] - прямоугольный

по теореме Пифагора найдем [tex]MA= \sqrt{MO^2+AO^2}= \sqrt{x^2+(x \sqrt{2})^2}= \sqrt{ x^{2} +2x^2} = \sqrt{3x^2} =x \sqrt{3} [/tex]

С одной стороны: [tex] S_{MOA} = \frac{1}{2} *MO*AO= \frac{1}{2}*x*x \sqrt{2} = \frac{x^2 \sqrt{2} }{2} [/tex],

а с другой стороны: [tex] S_{MOA}= \frac{1}{2} *MA*OF= \frac{1}{2}*x \sqrt{3}*2=x \sqrt{3} [/tex]
Приравняем:

[tex] \frac{x^2 \sqrt{2} }{2} =x \sqrt{3} [/tex]

[tex]x \sqrt{2} =2 \sqrt{3} [/tex]

[tex]x= \frac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } [/tex]

[tex]x= \sqrt{6} [/tex]

[tex]OM= \sqrt{6} [/tex] см

Тогда [tex] S_{AMC}= \frac{1}{2}*MO*AC [/tex]

[tex]AC=2AO=2 \sqrt{2}x=2 \sqrt{12} =4 \sqrt{3} [/tex] см

[tex]S_{AMC}= \frac{1}{2}* \sqrt{6} *4 \sqrt{3} =2 \sqrt{18}=6 \sqrt{2} [/tex] (см ²)

Ответ: [tex]6 \sqrt{2} [/tex] см²