прямоугольник ABCD-основание пирамиды TABCD, причем ребро TAперпендикулярно плоскости основания и равно 5. Точка M лежит на медиане DL грани CDT, а точка N лежит на диагонали BD. прямые AM иTN пересекаются. Известно что BN:ND=1:3. Найдите длину отрезка MN.

Проводим из точки M прямую параллельную BC и получаем сечение (треугольник) MM1T

а) Сразу же скажем, что высоты этих пирамид совпадают, т.к они имеют общую вершину

​VTMM1BCVTAMM1D=SMBCM1SAMM1D​

Остается найти площади этих трапеций:)

Сделаем выносной чертеж на плоскость основания, при этом продлим стороны AB и CD до пересечения в точке Z (частый прием в 16)

BH1 — высота трапеции.

​AM=2MB​ по условию, пусть ​MB=x​

​AD=2BC​ по условию, пусть ​BC=y​

из подобия треугольников ZBC и ADZ следует, что ​ZBZB+3x=12​

отсюда ​ZB=3x​

Из подобия треугольников ZBC и MM1Z следует, что ​yMM1=3x4x​

​MM1=43y​

​BH=4​ — по условию, тогда из подобия треугольников MBH и ABH1 следует, что ​BHBH1=x3x​

отсюда ​BH1=12​, ​HH1=12−4=8​

​SAMM1D=MM1+AD2∗HH1=43y+2y2∗8=40y3​

​SMBCM1=MM1+BC2∗4=43y+y2∗4=14y3​

​VTMM1BCVTAMM1D=SMBCM1SAMM1D=14y40y=720​

Б) Нам нужно как-то использовать площадь сечения…

​V=VTMM1BC+VTAMM1D=277VTMM1BC​  (из пункта а)

V-объем всей пирамиды

​​VTMM1BCVTMBM1=SBMM1CSBMM1​

​SBMM1=0.5∗MM1∗4=83y​

​SBCMM1=143y​

VTMM1BCVTMBM1=SBMM1CSBMM1=74​

​VTMM1BC=74VTMBM1=74∗403=703

​VTMBM1=13∗SMM1T∗4=403​​

​V=277∗703=90​

Ответ: 90