Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен a. Найти высоту трапеции, если её меньшая диагональ равна большему основанию.

 Обозначим трапецию [tex]ABCD[/tex] .  С острым углом [tex]BAD[/tex]. 
 [tex]AB||CH[/tex] - высота.  [tex]CH[/tex]  так же будет являться высотой треугольника [tex]ACD[/tex]. Найдем площадь этого треугольника, так как  треугольник [tex]ACD[/tex] равнобедренный ,  так как стороны  [tex] AC=AD=d[/tex]. 
 [tex]S_{ACD}=\frac{d^2*sin(180-2a)}{2}=\frac{d^2*sin2a}{2}[/tex] 
  [tex]S_{ACD}=\frac{CH*d}{2} = \frac{d^2*sin2a}{2}\\ CH=d*sin2a\\[/tex] 
 [tex]CD=\sqrt{2d^2+2d^2*cos2a}\\ HD=\sqrt{CD^2-CH^2}=\sqrt{2d^2+2d^2*cos2a-d^2*sin^22a}=\sqrt{4cos^4ad^2}\\ HD=2cos^2a*d[/tex]
 Тогда меньшее основания равна [tex]BC=d-2cos^2ad=d(1-2cos^2a)=-cos2a*d[/tex] 
  выразим высоту через формулу трапеций площади 
 [tex]S=\frac{-cos2a*d+d}{2}*h\\ h=\frac{2S}{d-dcos2a}[/tex]