точка м равноудалена от всех сторон ромба ,находится на расстоянии 2 см от плоскости ромба.Найдите расстояние от точки М до вершин ромба ,если его диагонали 12 см и 16 см

Пусть проекция точки [tex]M[/tex] на плоскость ромба -- точка [tex]H[/tex]. Пусть основания перпендикуляров  из [tex]M[/tex] на стороны ромба -- [tex]M_1, M_2, M_3, M_4[/tex] (не важно, в каком порядке). Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, отрезки [tex]HM_1, HM_2, HM_3, HM_4[/tex] перпендикулярны отрезку [tex]MH[/tex]. Таким образом, мы получаем четыре прямоугольных треугольника: [tex]MHM_1, ..., MHM_4[/tex], у которых общий катет [tex](MH)[/tex] и равны гипотенузы (по условию [tex]MM_1=MM_2=MM_3=MM_4[/tex]), значит, все эти прямоугольные треугольники равны друг другу. Значит, [tex]HM_1=HM_2=HM_3=HM_4[/tex], таким образом, точка [tex]H[/tex] так же равноудалена от сторон ромба, то есть лежит в центре вписанной окружности ромба, то есть на пересечении биссектрис, то есть это точка пересечения диагоналей (т. к. в ромбе диагонали являются биссектрисами).Пусть вершины ромба -- [tex]A, B, C, D[/tex] (так, что диагональ [tex]AC = 16[/tex], а диагональ [tex]BD = 12[/tex]). Тогда расстояние [tex]MA[/tex] является гипотенузой прямоугольного треугольника [tex]MHA[/tex], катет [tex]MH[/tex] которого нам дан в условии, а катет [tex]HA[/tex] находим исходя из того, что точка [tex]H[/tex] -- точка пересечения диагоналей в ромбе, поэтому делит их пополам. Значит,[tex]HA=\frac{16}{2}=8 [/tex]. По теореме пифагора находим [tex]MA[/tex]. [tex]MA = \sqrt{8^2+2^2} = 2\sqrt{17}[/tex]. [tex]MA = MC[/tex], т. к. прямоугольные треугольники [tex]MHA[/tex] и [tex]MHC[/tex] равны по двум катетам.
Абсолютно аналогично находим [tex]MB = MD[/tex]. [tex]MB=MD=\sqrt{{MH}^2+{HB}^2}=\sqrt{MH^2+(\frac{BD}{2})^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}[/tex]

Перефразируем :
вершина M пирамиды равноудалена от всех сторон основания (ромба  ABCD ), высота MO=2 . Пусть AC =16 см ; BD =12 см. Найти боковые ребра . Условие подсказывает, что
высота проходит через центр O окружности вписанной в основании (ромб). Эта точка пересечения диагоналей AC и  BD. AO=CO =AC/2 =16 см/2 =8 см ; BO =CO =BD/2 =6 см. 
Из ΔAOM по теореме Пифагора:  MA = √(AO² +MO²) =√(8² +2²) =√68 =√4*17 =2√17 (см).
MC =MA = 2√17 см.
 Аналогично найдем MB =MD =√(BO² +MO²) =√(6² +2²) =√40=√4*√10=2√10 ((см).

ответ : 2√17 см  ; 2√10 см .