В треугольнике две высоты равны 12 и 20. Найдите максимальное возможное целое значение длины третьей высоты.

Увы, я поторопился :)))
Было выложено такое решение. 2*S = a*12 = b*20 = c*h;
b = (3/5)*a; минимальное значение c = a - b = (2/5)*a; откуда максимальное значение h = = (5/2)*12 = 30;
но
Это не может быть ответом, потому что при c = a - b; S = 0; и соотношения типа 2*S = a*12 = b*20 теряют смысл.
Однако значение h = 29 может быть реализовано. При этом треугольник будет подобен треугольнику со сторонами 1, 3/5, 12/29; и надо просто так подобрать коэффициент подобия, чтобы высота к стороне, которая соответствует 1, равнялась бы 12. Вычислять этот коэффициент нет смысла, потому что вопрос в задаче - найти максимальное ЦЕЛОЕ значение h, а следующее ЦЕЛОЕ значение - 30.

  пусть высота равна [tex]x[/tex], стороны [tex]a;b;c[/tex]
 [tex] 12a=20b=x*c \\ \frac{12a}{x} ; \frac{12a}{20} ; a[/tex]
 По теореме косинусов  
 [tex]a^2 + \frac{144*a^2}{400 }- \fac{24*a^2}{20} * cosa = \frac{144*a^2}{x^2}\\ cosa= \frac{17}{15} - \frac{120}{x^2}[/tex] 
  
теперь чем острее угол тем больше высота 
 [tex]\frac{17}{15} - \frac{120}{x^2}=1\\ x=30[/tex]  
 значит  он будет равен [tex]29[/tex]
  при этом , угол будет примерно равен [tex] 7а[/tex]