Найдите координаты точки В, симметричной точке А(2; 7; 1) относительно плоскости х - 4у + z + 7 = 0.

Вектор нормали плоскости [tex](1; -4;1)[/tex]

Уравнение прямой, которая проходит через точку A перпендикулярно заданной плоскости
[tex]\frac{x-2}{1}=\frac{y-7}{-4}=\frac{z-1}{1}[/tex]

Найдем точку пересечения прямой и плоскости
[tex]x=t+2; \\ y=7-4t; \\ z=t+1 \\ \\ t+2 -4 \cdot (7-4t)+t+1+7=0; \ \ 2t+10 -28+16t=0; \\ 18t-18=0; \ \ t-1=0; \ \ t=1; \\ \\ x=3; \\ y=3; \\ z=2 [/tex]
[tex]M(3; 3;2)[/tex]


[tex]M[/tex] — середина отрезка [tex]AB[/tex]

[tex]x_M=\frac{2+x_B}{2}; \ \ y_M = \frac{7 + y_B}{2}; \ \ z_M=\frac{1+z_B}{2} \\ \\ \frac{2+x_B}{2}=3; \ \ \frac{7 + y_B}{2}=3; \ \ \frac{1+z_B}{2}=2; \\ x_B=4; \ \ y_B=-1; \ \ z_B=3 \\ \\ B(4; -1;3)[/tex]