Вопрос 17 17
Театральный прожектор в форме конуса, осевое сечение которого — правильный треугольник, находится на потолке сцены
на высоте 5 метров над ней и освещает участок сцены в форме круга.
Найдите радиус освещенного участка. Ответ округлите до десятых.

Ответ

Анонимно

Выполним рисунок.
Замечание 1. Считаем высоту от пола до вершины конуса прожектора.
Замечание 2. Считаем, что прожектор по сути лампа с абажуром, т.е. Фокусирующей системы нет. Иначе все будет намного веселее.
Тогда получится, что световой поток сформируется в виде конуса, подобного конусу абажура. Вот его осевое сечение мы и нарисуем.
Получим правильный треугольник АВС, при этом нам известна его высота BK=5м. Радиус, который требуется найти, это на нашем чертеже половина основания AC (AK=AC/2) (BK это по совместительству еще медиана и биссектриса)
Углы треугольника ABC равны между собой и равны 60°. В частности угол α. Из прямоугольного треугольника ABK находим его гипотенузу AB, зная катет BK и противолежащий угол α.
[tex]AB= \frac{BK}{sin \alpha } = \frac{5}{sin(60^o)} = \frac{5\cdot 2}{ \sqrt{3} } = \frac{10}{ \sqrt{3} } [/tex]
Поскольку ABC правильный (то бишь равносторонний), то AB=AC
Значит [tex]AC= \frac{10}{ \sqrt{3} } [/tex]
[tex]AK= \frac{10}{ 2\sqrt{3} } =\frac{5}{ \sqrt{3} } \approx 2,9[/tex] м

Можно было несколько иначе
Из треугольника ABK
[tex]tg \alpha = \frac{BK}{AK} [/tex]
Значит катет AK
[tex]AK= \frac{BK}{tg( \alpha )} =\frac{5}{tg( 60^o )}= \frac{5}{ \sqrt{3}} \approx 2,9[/tex]