В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD. Окружность, описанная возле треугольника ABC, касается прямой CD, пересекает основание AD в точке М и делит его на отрезки АМ и MD. Найдите площадь трапеции ABCD, если АМ=8, СМ=4.

По свойству касательной и секущей получаем 
 [tex]DC^2=MD(MD+8) [/tex] 
из треугольника [tex]MDC[/tex] , по теореме косинусов получаем  
[tex]MD^2+16-8MD*cosa=MD(MD+8)\\ [/tex]  где [tex]a[/tex] угол  [tex]DMC[/tex] 
откуда [tex]MD(1+cosa)=2 [/tex]
[tex]AC^2=80+64cosa\\ [/tex] 
выражая  [tex]MD[/tex] и подставляя , получаем уравнение 
[tex]64+\frac{16}{1+cosa}=80+64cosa \\ 80+64cosa=(80+64cosa)(1+cosa)\\ (80+64cosa)cosa=0\\ a=90а[/tex]
Тогда площадь треугольника  [tex]S_{MDC}=\frac{4*MD}{2}\\ MD=2\\ MDC=\frac{4*2}{2}=4\\\\ S_{AMBC}=8*4=32\\ S_{ABCD}=32+4=36[/tex]