Пускай в трапецию ABCD (основы AD и BC) вписана окружность радиуса r. В треугольники ABC и ACD вписаны окружности с радиусами r(abc) и r(acd) соответственно. Известно, что для радиусов выполняется r:r(abc):r(acd)=9:4:6. Найти соотношения между сторонами трапеции.

 Если не ошибаюсь , то решение примерно такое 
Заметим что углы  [tex] \angle BCA= \angle CAD [/tex]   как на крест лежащие 
Тогда как  [tex] S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABCD} \\ \angle BCA=y\\ \frac{BC*AC*siny}{2} + \frac{AD*AC*siny}{2} = S_{ABCD} [/tex] 
Обозначим так же радиусы  как [tex]9x;4x;6x[/tex] ,   не обобщая общности , можно взять [tex]9;4;6[/tex] 
Так как в трапеция вписана окружность [tex] AB+CD=BC+AD [/tex]                  
[tex] AC*siny(BC+AD) = 18*(BC+AD)\\ AC*siny =18\\ [/tex] 
С другой стороны площади треугольников через радиусы 
[tex] S_{ABC}=(AB+BC+AC)*2 \\ S_{ACD}=(CD+AD+AC)*3[/tex] 
 Откуда 
  [tex] (AB+BC+AC)*2=9BC\\ (CD+AD+AC)*3=9AD [/tex]
      [tex]AC=3.5*BC-AB \\ AC=2*AD-CD [/tex] 
 
 Положим что [tex]BC=x; AB=y ; AD=z; CD=n \\\\ [/tex]
  Если выразить углы , из теоремы косинусов , соответственно из тех же треугольников  , получим  
    [tex]cosBCA = \frac{53*x-28*y}{28*x-8*y} \\ cosBCA = \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z} [/tex]     
    Приравнивая 
  [tex] \frac{53*x-28*y}{28*x-8*y}= \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z } \\ x+z= y+n \\, 3.5*x-y=2*z-n[/tex]  
  получим 
  [tex] x=\frac{4n}{5}\\ y=\frac{17*n}{15} \\ z=\frac{4n}{3}\\ n \neq 0[/tex] 
 Так как [tex] cosBCA=\frac{4}{5}\\ sinBCA=\frac{3}{5}\\ AC= 18*\frac{5}{3} = 30[/tex] 
 Откуда [tex]n=18[/tex] 
  
 То есть стороны равны  
  [tex] AB=\frac{17*18}{15} = \frac{102}{5} \\ BC=\frac{4*18}{5} = \frac{72}{5}\\ AD=24 \\ CD=18[/tex]