В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона равна 60. Если центр вписанной окружности делит высоту BD в отношении 12:5, то основание треугольника равно

Условие означает, что половина основания относится к боковой стороне, как 5/12; то есть основание относится к боковой стороне, как 5/6, и равно 50.

на самом деле, эта устная задачка имеет полезное обобщение.
Если есть треугольник со сторонами a b c, то биссектриса к стороне c делит её в отношении a/b, то есть - на отрезки ca/(a + b) и cb/(a + b); 
Поэтому биссектриса к стороне b делит биссектрису к стороне c на отрезки в отношении (считая от вершины C) a/(ca/(a + b)) = (a + b)/c;
То есть центр вписанной окружности делит биссектрису в отношении (a + b)/c, где с - сторона, к которой биссектриса проведена. 
В этой задаче c - основание, BD - биссектриса, и (60 + 60)/c = 12/5; с = 50;