Два конуса имеют общую высоту длины Н и параллельно расположенные основания. Образующая одного конуса наклонена к плоскости его основания под углом α, другой- β. Найдите длину линий, по которой пересекаются боковые поверхности.

Задача, на самом деле, плоская. Надо найти расстояние от точки пересечения двух образующих (разных конусов) до высоты - оси конусов. Это будет радиус окружности, длину которой надо найти. В осевом сечении получается фигура, похожая на 4-конечную звезду, если "смотреть" на её "правую" от оси-высоты часть (или левую, кому как нравится), то получилось два прямоугольных треугольника с общим катетом, у которых гипотенузы образуют с ДРУГИМИ катетами углы α и β; надо найти расстояние от точки пересечения гипотенуз до общего катета. 
Если опустить из этой точки пересечения перпендикуляр на общий катет (длину этого перпендикуляра r и надо найти) то ПУСТЬ он разделит катет длины H на отрезки x и y; тогда
х + y = H;
r = x*tg(90 - α);
r = y*tg(90 - β);
откуда все легко находится. Пусть k = tg(α)/tg(β)
x = y*k; H = y*(1 + k); y = H/(1 + k); ну и подставить в r = y/tg(β)
r = H/(tg(α) + tg(β));
Длина окружности получается умножением на 2π.