Докажите что в произвольном многоугольника любая сторона не больше суммы остальных сторон.

 Положим что многоугольник выпуклый, то есть можно провести диагонали, обозначим первую вершину [tex]A_{1}[/tex] , вторую [tex] A_{2}[/tex] , третью [tex]A_{3}[/tex],[tex] A_{4};A_{5};A_{6}...A_{n}[/tex] соответственно     . 
 Проведем диагонали из вершины  [tex]A_{1}[/tex]    к остальным вершинам соответственно , тогда из неравенство треугольников получим неравенства 
 [tex]A_{1}A_{2}<A_{1}A_{3}+A_{2}A_{3}\\A_{1}A_{3}<A_{1}A_{4}+A_{3}A_{4}\\A_{1}A_{4}<A_{1}A_{5}+A_{4}A_{5}\\....\\A_{1}A_{n-1}<A_{1}A_{n}+A_{n-1}A_{n}[/tex] 
 заметим что в каждом слагаемом есть тот член, который есть в  последующем но она меньше суммы двух других ,  условливаясь что они равны то есть [tex]A_{1}A_{3}=A_{1}A_{4}+A_{3}A_{4}[/tex] (это означает что треугольник не вырожденный) и подставляя получим требуемое то есть 
[tex]A_{1}A_{2}<A_{2}A_{3}+A_{3}A_{4}+...+A_{1}A_{n}[/tex] 
 что уже говорит о случае  [tex]A_{1}A_{3}<A_{1}A_{4}+A_{3}A_{4}[/tex]