В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найдите S б.п. пирамиды.

Пирамида  MABCD - правильная, в основании лежит квадрат ABCD,

AB=BC=CD=AD=6 см, боковые рёбра равны AM = BM = CM = DM, высота опускается в точку пересечения диагоналей квадрата.

Диагональ квадрата  равна   d = a√2 :

AC = AB · √2 = 6√2  см

Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам :

OC = AC : 2 = 6√2 : 2 = 3√2  см

ΔMOC - прямоугольный равнобедренный, так как

∠CMO = ∠MCO = 45°  ⇒   OM = OC = 3√2 см

MK - апофема боковой грани AMD

ΔMOK - прямоугольный, KO = AB:2 = 6:2 = 3 см

По теореме Пифагора

MK² = OM² + KO² = (3√2)² + 3² = 18 + 9 = 27

MK = √27 = 3√3 см

Sбок = [tex]4S_{\Delta AMD}=4\cdot \dfrac{AD\cdot MK}2=2 \cdot 6 \cdot 3\sqrt 3=36\sqrt3[/tex]  см²

Ответ : 36√3 см²