Около окружности описана равнобедренная трапеция.
а) Докажите, что ее диагональ проходит через середину отрезка, концы которого – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции.
б) Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 3/8 площади трапеции.

 Положим что это верно , то есть [tex] AC[/tex] делить [tex] \frac{MN}{2} \\[/tex]  [tex] M \in AB\\ N \in CD [/tex],   [tex] M;N[/tex]  точки касания ,   тогда и вторая диагональ  [tex] BD[/tex] делить [tex] \frac{MN}{2}[/tex]  из-за того что трапеция равнобедренная . 
   Продлим [tex] AB;CD[/tex] за точки [tex] B,C[/tex]  , тогда и замечательного свойства трапеций , того что отрезок соединяющий диагонали и основания , проведенный из вершины проходит через одну точку , но так как трапеция равнобедренная , получим  что прямая проведенная с вершины треугольника  , будет делить [tex] BC;AD[/tex]  на [tex]2[/tex] , но так как  [tex] MN || BC || AD[/tex]  , то и [tex]MN[/tex] и точки пересечения диагоналей и [tex] MN[/tex] будут пересекаться в одной точке ,а значит  изначальное условие было верно . 
   
Так как трапеция , равнобедренная , диагонали делят на треугольники ,  два из которых подобны ,  если большее основание и меньшее      равны            [tex] a,b[/tex] тогда [tex] \frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{b}{a}[/tex]   [tex] h_{1} ; h_{2}[/tex]  высоты треугольников образованных отрезками диагоналей и основаниями .  Получим 
  [tex]\frac{(a+b)*(b* \frac{h_{2}}{a}+h2) - (bh_{2}+ah_{2})}{2} = \frac{3*(a+b)*(b* \frac{h_{2}}{a}+h_{2})}{16} \\ 16ab=3(a+b)^2 \\ 3a^2-10ab+3b^2 = 0 \\ (a-3b)(b-3a) = 0 \\ a=3b [/tex]
  То есть основания относятся как [tex] \frac{a}{b}=3[/tex]