Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = 3 и АС = 4. Ромб ВDЕF расположен в треугольнике АВС, вершина В общая, а остальные три вершины ромба лежат на трёх сторонах треугольника АВС. Найти сторону ромба.

Поскольку вершина треугольника В - вершина ромба, две его стороны - BD и  BF лежат на сторонах треугольника ВС  и ВА соответственно 
ВЕ - диагональ ромба, которая в ромбе является биссектрисой и делит угол АВС пополам. 
Биссектриса  делит противоположную углу сторону треугольника  в отношении прилежащих сторон.
Пусть коэффициент отношения будет х. 
Тогда АЕ=5х, ЕС=3х.
АС=4
АЕ+ЕС=8х⇒
х=0,5
АЕ=5*0,5=2,5
Противолежащие стороны ромба параллельны и равны, FЕ || BC ⇒
∠FEА=∠ BCА=90º
EF отсекает от Δ АВС подобный ему треугольник АFE .
Из подобия треугольников 
АС:АЕ=ВС:FE
4:2,5=3:FE
4 FE=7,5
FE=1,875 (ед. длины)